Алфавитный указатель

Характеристическое уравнение

Характеристическое уравнение. Во многих случаях физические процессы, происходящие в системах, описываются системой обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, которая в достаточно общем случае может быть сведена к дифференциальному уравнению вида

 Harakteristicheskoe-uravnenie

[при F(t) ≡ 0 это уравнение называется однородным]. Здесь а1, b1 — постоянные коэффициенты, выражающиеся, например, через аэродинамические коэффициенты; Z(t) — неизвестная функция времени t; F(t) — заданное, зависящее от времени внешнее возмущение. Если ввести обозначение di/dti = pi так, что diZ(t)/dti = piZ(t), то это уравнение можно переписать в виде L(p)Z(t) = S(р)F(t), где L(р) и S(р) — некоторые многочлены степеней n и m соответственно. Полученный таким образом многочлен L(р) = рn + a1pn—1 + ... + an—1p + an называется характеристическим многочленом (полиномом), а уравнение L(р) = 0 — характеристическим уравнением (существуют и другие способы получения X. у. — см., например, ст. Передаточная функция). Корни X. у. определяют вид решения линейного однородного дифференциального уравнения и тем самым тип собственного движения системы (периодические, затухающее и т. п.). X. у. линейной системы не зависит от того, относительно какой из её переменных (например, скорость полёта или угол атаки при исследовании продольного движения) составляется дифференциальное уравнение и какие возмущающие и задающие воздействия в эту систему вводятся.

Необходимым и достаточным условием устойчивости решения системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений является отрицательность всех действительных частей корней X. у. При этом оказывается, что положительность всех коэффициентов характеристического полинома является необходимым и достаточным условием устойчивости для систем первого и второго порядков и лишь необходимым условием устойчивости (обеспечивается отрицательность только вещественных корней) для систем третьего и более высоких порядков. Существуют различные способы исследования на основе X. у. устойчивости систем, например метод построения областей устойчивости, алгебраические и частотные критерии. X. у. широко используется при исследовании динамики полёта, устойчивости ЛА и его управляемости.

Лит.: Попов Е. П., Динамика систем автоматического регулирования, М., 1954; Понтрягин Л. С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 4 изд., М., 1974.

Энциклопедия авиации